Cov (X,Y) = 0 si X e Y independientes... No siempre es así

Estaba leyendo el otro día las entradas nuevas en el google reader y me encontré con el post de un blog que sigo Apuntes de estadística (http://predictive.wordpress.com) que me encantó. En esta entrada se habla de la necesidad de incluir la necesidad de que los órdenes de orden 1 y 2 deben ser finitos cuando hablamos de covarianza, correlación e independencia en variables aleatorias. 

Me explico con un ejemplo extraído de la entrada de Apuntes de estadística:

Si X y Y son independientes, entonces cov(X,Y) es igual a ____

Suponga U_1, U_2 variables aleatorias independientes con distribución normal estándar y defínase X=U_1 y Y=1/U_2. Claramente X es independiente de Y, pero dado que XY define una variable aleatoria con distribución de Cauhy, entonces su esperanza no es finita y por supuesto cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) no es finita. De esta manera, aunque X es independiente de Y, la covarianza no es nula.

Podéis leer la entrada completa aquí